Qu'est-ce (qui) est Эрмита многочлены - définition

Полином Эрмита; Многочлен Эрмита; Полиномы Эрмита

Эрмита многочлены

специальная система многочленов последовательно возрастающих степеней. Для n = 0,1,2,... Э. м. H_n(x) могут быть определены формулой:

В частности, H_o = 1, H₁ = 2х. H₂ = 4x²- 2, H₃ = 8x³- 12x, H₄ = 16х⁴ - 48х² + 12. Э. м. ортогональны на всей оси Ox относительно веса е^-х (Ортогональные многочлены). Дифференциальное уравнение для у = H_n(x).

y'' - 2ху' + 2ny = 0;

рекуррентные формулы:

H_n+1 (х) - 2xH_n(x) + 2nH_n-1 (х) = 0,

Иногда за H_n принимают многочлены, отличающиеся от указанных выше множителями, зависящими от n, а иногда в качестве веса берут

. Основные свойства этой системы были изучены П. Л. Чебышевым (1859) и Ш. Эрмитом (1864).

Функции параболического цилиндра

Фу́нкции параболи́ческого цили́ндра (функции Вебера) — общее название для специальных функций, являющихся решениями дифференциальных уравнений, получающихся при применении метода разделения переменных для уравнений математической физики, таких как уравнение Лапласа, уравнение Пуассона, уравнение Гельмгольца и др. в системе координат параболического цилиндра.

https://ru.wikipedia.org/wiki/Функции_параболического_цилиндра

Чебышева многочлены

ДВЕ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ ОРТОГОНАЛЬНЫХ МНОГОЧЛЕНОВ

Многочлен Чебышева; Многочлен Чебышёва; Полином Чебышева; Полином Чебышёва; Полиномы Чебышева; Полиномы Чебышёва; Чебышева многочлены; Многочлены Чебышева

1) Ч. м. 1-го рода - специальная система многочленов последовательно возрастающих степеней. Для n = 0, 1, 2,... определяются формулой:

В частности, Т₀ = 1; T₁ = х; T₂ = 2x² ―1; T₃ = 4x³ ― 3x; T₄ = 8x⁴ ― 8x² + 1. Ч. м. T_n(x) ортогональны (см. Ортогональные многочлены) на отрезке [-1; + 1] относительно веса (1 - x²)^―1/2. Дифференциальное уравнение:

(1 - x²) у" - ху + n²у = 0.

Рекуррентная формула: T_n+₁(x) = 2xTn (х) - T_n_―1(x).

Ч. м. 1-го рода являются частным случаем Якоби многочленов (См. Якоби многочлены) P_n^(αβ)(x):

2) Ч. м. 2-го рода U_n(x) - ортогональная на отрезке [-1; + 1] относительно веса (1 -x²)^1/2 система многочленов, связанная с Ч. м. 1-го рода, например рекуррентным соотношением:

(1 - x²) U_n_―1(х) = xTn (х) ― T_n+₁(х).

Лит.: Чебышев П. Л., Полн. собр. соч., т. 2-3, М.-Л., 1947-48; Сеге Г., Ортогональные многочлены, пер. с англ., М., 1962.

Wikipédia

Многочлены Эрмита

Многочле́ны Эрми́та — определённого вида последовательность многочленов одной вещественной переменной. Многочлены Эрмита возникают в теории вероятностей, в комбинаторике, физике.

Названы в честь французского математика Шарля Эрмита.

https://ru.wikipedia.org/wiki/Многочлены Эрмита